Question

17．已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點，且EE=2，EH=1，四邊形EFGH為平行四邊形．
（Ⅰ）求證：EH∥BD；
（Ⅱ）連結AC，若AC⊥BD，求FH的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：EH∥FG，利用線面平行的判定定理證明EH∥平面BCD，即可證明EH∥BD；
（Ⅱ）連結AC，若AC⊥BD，證明EH⊥EF，利用勾股定理求FH的長度．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，∵四邊形EFGH為平行四邊形
∴EH∥FG，
又∵EH?平面BCD，F(xiàn)G?平面BCD，
∴EH∥平面BCD，
又∵EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴EH∥BD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH∥BD，同理可證EF∥AC．
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴$FH=\sqrt{E{H^2}+E{F^2}}=\sqrt{{1^2}+{2^2}}=\sqrt{5}$

點評 本題考查線面平行的判定定理與性質的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．