Question

8．（1）已知f（x+$\frac{1}{x}$）=x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$，求f（x）的表達式；
（2）給出函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的單調(diào)性；在（-∞，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，在[（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）]上單調(diào)遞減，利用這一結(jié)論，求第（2）問中所得f（x）的定義域．

Answer 1

分析 （1）首先，借助于立方和公式化簡，然后，再借助于配方法進行處理，最后整體換元即可；
（2）根據(jù)（1），借助于所給函數(shù)的單調(diào)性求解器范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x+$\frac{1}{x}$）=x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
=（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）
=（x+$\frac{1}{x}$）[（x+$\frac{1}{x}$）²-3]，
∴f（x）=x（x²-3）
=x³-3x，（x≤-2或x≥2）．
∴f（x）=x³-3x，（x≤-2或x≥2）．
（2）根據(jù)（1），知
令t=x+$\frac{1}{x}$，
根據(jù)所給信息，得到該函數(shù)，
在（-∞，-1]，[1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，0），（0，1）上單調(diào)遞減，
∴t≤-2或t≥2，
∴f（x）的定義域為：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評 本題重點考查了函數(shù)的基本性質(zhì)、解析式的求解方法、換元法在求解函數(shù)解析式中的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．