Question

（2012•昌平區(qū)二模）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知(a7-1)3+2012(a7-1)=1，(a2006-1)3+2012(a2006-1)=-1，有下列結(jié)論：
①S₂₀₁₂=-2012；   ②S₂₀₁₂=2012；    ③a₂₀₁₂＞a₇；    ④a₂₀₁₂＜a₇．
其中正確的結(jié)論序號(hào)是（　�。�

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：將(a7-1)3+2012（a₇-1）=1，(a2006-1)3+2012（a₂₀₀₆-1）=-1，兩式等號(hào)兩端分別相加，可求得a₂₀₀₆+a₇=2，利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可判斷①②的正誤；由a₇-1＞0，a₂₀₀₆-1＜0可知其公差d＜0，從而可判斷③④的正誤．

解答：解：∵{a_n}為等差數(shù)列，(a7-1)3+2012（a₇-1）=1，(a2006-1)3+2012（a₂₀₀₆-1）=-1，
∴(a7-1)3+2012（a₇-1）+(a2006-1)3+2012（a₂₀₀₆-1）=0，
∴(a7-1)3+(a2006-1)3+2012（a₇-1+a₂₀₀₆-1）=0，
∴（a₇-1+a₂₀₀₆-1）{[(a7-1)-

1

2

(a2006-1)]2+

3

4

(a2006-1)2+2012}=0，
∴a₇-1+a₂₀₀₆-1=0，
∴a₂₀₀₆+a₇=2，
∵{a_n}為等差數(shù)列，
∴S₂₀₁₂=2012×

a1+a2012

2

=2012×

a7+a2006

2

=2012，
∴②正確；
又(a7-1)3+2012（a₇-1）=（a₇-1）[(a7-1)2+2012]=1＞0，
∴a₇-1＞0，
同理可得(a2006-1)3+2012（a₂₀₀₆-1）=（a₂₀₀₆-1）[(a2006-1)2+2012]=-1＜0
a₂₀₀₆-1＜0，
∴a₇-a₂₀₀₆＞0，
∴其公差d＜0，
∴a₂₀₁₂＜a₇．
故④正確；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，得到a₂₀₀₆+a₇=2012與其公差d＜0是難點(diǎn)，考查分析與解決問題的能力，屬于難題．