Question

試判斷函數(shù)f（x）=的單調(diào)性.

Answer 1

錯解：設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則

    f（x₁）-f（x₂）=-=.

    ∵x₁＜x₂，

    ∴-x₁＞-x₂.

    ∴a^x₁＜a^x₂，a^-x₁＞a^-x₂.

    ∴a^x₁-a^x₂＜0，a^-x₂-a^-x₁＜0.

    ∴f（x₁）-f（x₂）＜0.

    ∴f（x₁）＜f（x₂），

    即f（x）=是增函數(shù).

錯因分析：上述解法錯誤的原因是忽略了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)在a＞1與0＜a＜1中分別討論.

正解：設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則

    f（x₂）-f（x₁）=-=.

    ∵x₁＜x₂，

    ∴-x₁＞-x₂.

    當(dāng)a＞1時，a^x₁＜a^x₂，a^-x₁＞a^-x₂，

    ∴a^x₂-a^x₁＞0，a^-x₁-a^-x₂＞0，

    ∴f（x₂）-f（x₁）＞0，

    即f（x₂）＞f（x₁），

    此時f（x）是增函數(shù).

    當(dāng)0＜a＜1時，a^x₁＞a^x₂，a^-x₁＜a^-x₂，

    ∴a^x₂-a^x₁＜0，a^-x₁-a^-x₂＜0，

    ∴f（x₂）-f（x₁）＜0，

    即f（x₂）＜f（x₁）此時f（x）是減函數(shù).

    故當(dāng)a＞1時，f（x）是增函數(shù)，

    當(dāng)0＜a＜1時，f（x）是減函數(shù).