Question

9．定義在R上的函數(shù)y=f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，恒有f（x）＞0則
（1）求證f（x）是R上的奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并說明理由；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=0可得f（0）=0，再令y=-x，可求得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，問題得證；
（2）f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)．由條件x＞0時，恒有f（x）＞0，運用單調(diào)性的定義結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（3）依題意，可求得f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），再結(jié)合f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，可求得k•3^x＜-3^x+9^x+2?k＜-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$恒成立，求得-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$的最小值即可．

解答 解：（1）證明：令x=y=0，得 f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0，
由已知，函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，
令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x），
由于f（0）=0，得f（-x）=-f（x），
所以，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)．
x＞0時，恒有f（x）＞0，
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0，
即為f（x₂）+f（-x₁）＞0，即有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)；
（3）由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，
即有f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2），即f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），
因為f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，
所以k•3^x＜-3^x+9^x+2，即k＜-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$，
因上式對于?x∈R恒成立，
只需k小于-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$的最小值，
由于3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$≥2$\sqrt{2}$，
所以-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$≥2$\sqrt{2}$-1，
所以k＜2$\sqrt{2}$-1，
故實數(shù)k的取值范圍為（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，突出考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．