Question

15．若點O和點F分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦點，點P為橢圓上任意一點，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值為2．

Answer 1

分析 求得橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦點，利用坐標表示向量，借助于橢圓方程，利用配方法，即可求得最小值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦點為O（0，0），F(xiàn)（-1，0）
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，∴y²=3-$\frac{3}{4}{x}^{2}$（-2≤x≤2）
設P（x，y），則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（x，y）•（x+1，y）=x²+x+y²=x²+x+3-$\frac{3}{4}{x}^{2}$=$\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$
∵-2≤x≤2，
∴x=-2時，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查向量知識的運用，考查配方法，解題的關鍵是用坐標表示向量，建立函數(shù)關系式．