Question

（10分）已知函數(shù)

（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；

（Ⅱ）用定義證明在上是減函數(shù)；

（Ⅲ）函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．

 

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)為奇函數(shù)；（Ⅱ） 略；（Ⅲ）在（﹣1，0）上是減函數(shù)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 首先求函數(shù) 定義域并驗(yàn)證其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再根據(jù)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證 即證；（Ⅱ） 根據(jù)減函數(shù)的定義，證明當(dāng)且 時(shí)，總有即證；（Ⅲ） 由（Ⅰ）可知函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，得在（﹣1，0）上是減函數(shù)。

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：

易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015012306033016841880/SYS201501230603539036406272_DA/SYS201501230603539036406272_DA.008.png">，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.

又

在定義域上是奇函數(shù).

（Ⅱ）設(shè)且，則

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．

∴，即

因此函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù).

（Ⅲ）在（﹣1，0）上是減函數(shù)．

考點(diǎn)：1、奇、偶函數(shù)的判定方法；2、函數(shù)單調(diào)性的判定方法；3、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.