Question

12．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，引兩條相互垂直的弦AC，BD．求四邊形ABCD面積的最小值為8p²．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0，由弦長公式得|AB|，以-$\frac{1}{k}$換k得|CD|，由此能求出四邊形ACBD的面積的最小值．

解答 解：設(shè)直線AB的斜率為k（k≠0），則直線CD的斜率為-$\frac{1}{k}$．
直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0，
從而${x}_{A}+{x}_{B}=\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x_A．x_B=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
由弦長公式得|AB|=$\frac{2{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，
以-$\frac{1}{k}$換k得|CD|=2k²p+2p，
故所求面積為S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|=$\frac{1}{2}•\frac{2p（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}•2p（{k}^{2}+1）$
=$2{p}^{2}（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2）$≥8p²（當(dāng)k²=1時取等號），
即面積的最小值為8p²．

點(diǎn)評 本題考查拋物線方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，考查弦長的表達(dá)式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式的靈活運(yùn)用．