Question

如圖（一），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC，E為AD中點(diǎn)，沿CE折疊，使面DEC⊥面ABCE，在圖（二）中．
（I）證明：AC⊥BD
（Ⅱ）求DE與面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

（I）證明：如圖所示，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)B=a，則E（0，0，0），C（a，0，0），A（0，a，0），D（0，0，a），B（a，a，0），
∴，
∵
∴，
∴AC⊥BD
（Ⅱ）設(shè)面ACD的法向量
∴，∴，∴
∴cos
∴DE與面ACD所成角的余弦值為
分析：（I）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)B=a，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，證明即可；
（Ⅱ）求出面ACD的法向量，計(jì)算cos，即可得到DE與面ACD所成角的余弦值．
點(diǎn)評：本題考查平面圖形的翻折，考查利用空間向量解決立體幾何問題，關(guān)鍵是建系設(shè)點(diǎn)．