Question

已知函數f（x）=x+（x＞0），a為常數，且a≠0．
（1）研究函數y=f（x）的單調性，并說明理由；
（2）如果函數y=f（x）的值域為[6，+∞），求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數的解析式f（x）求出導函數，然后分a小于0和a大于0兩種情況，分別令導函數大于0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍即為函數的遞增區(qū)間；令導函數小于0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍即為函數的遞減區(qū)間；（2）由（1）知，當a小于0時，函數在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，值域為R，不合題意；當a大于0時，根據函數的增減性得到函數的最小值為f（），求出f（）的值即可得到函數的值域，又函數的值域為[6，+∞），所以得到f（）的值等于6，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答：解：（1）由f（x）=x+，得，
當a＜0時，恒成立，所以函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數；
當a＞0時，令，解得，令，解得，
所以函數y=f（x）在上為減函數；在上為增函數．
（2）由（1）可知當a＜0時，函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數，此時函數的值域為R，不合題意；
當a＞0時，函數y=f（x）在上為減函數；在上為增函數，
此時函數的值域為，即．
綜上，a=9．
點評：此題考查學生會利用導函數的正負得到函數的單調區(qū)間，會根據函數的增減性得到函數的最值，掌握導數在最值問題中的應用，是一道綜合題．