Question

16．已知sinx+siny=$\frac{2}{3}$，則$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x的取值范圍是[$\frac{1}{12}$，$\frac{7}{9}$]．

Answer 1

分析 把siny=$\frac{2}{3}$-sinx代入式子化簡，使用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域．

解答 解：∵sinx+siny=$\frac{2}{3}$，∴siny=$\frac{2}{3}$-sinx，∵-1≤siny≤1，∴-1≤$\frac{2}{3}$-sinx≤1，解得-$\frac{1}{3}$≤sinx≤1．
∴$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{6}$+$\frac{2}{3}$-sinx-$\frac{1}{2}$（1-2sin²x）=sin²x-sinx+$\frac{1}{3}$．
令sinx=t，則-$\frac{1}{3}$≤t≤1，∴$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x=t²-t+$\frac{1}{3}$=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{12}$．
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x取得最小值$\frac{1}{12}$；當(dāng)t=-$\frac{1}{3}$時，$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x取得最大值$\frac{7}{9}$．
故答案為[$\frac{1}{12}$，$\frac{7}{9}$]．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換，換元法，求出sinx的范圍是解題關(guān)鍵．