Question

求證：1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1).

Answer 1

思路分析：本題就是考查對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解，兩個(gè)步驟一個(gè)是命題成立的基礎(chǔ)，一個(gè)是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左式=1²=1，右式=×1×(1+1)×(2×1+1)=1,

左式=右式.

∴當(dāng)n=1時(shí)，命題成立（奠基步驟）.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(≥1)時(shí)，命題成立，即

1²+2²+3²+…+k²=k(k+1)(2k+1).（歸納假設(shè)）

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

右式=1²+2²+3²+…+k²+(k+1)=k(k+1)(2k+1)+(k+1)²

=(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］

=(k+1)(k+2)(2k+3)=右式.

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.

由（1）（2）可知，對(duì)于一切自然數(shù)n，命題都成立.（結(jié)論）

方法歸納

用數(shù)學(xué)歸納法證題要注意下面幾點(diǎn)：

(1)證題的兩個(gè)步驟缺一不可，要認(rèn)真完成第一步的驗(yàn)證過程；

(2)成敗的關(guān)鍵取決于第二步對(duì)n=k+1的證明：①突破對(duì)“歸納假設(shè)”的運(yùn)用；②用好命題的條件；

(3)正確選擇與命題有關(guān)的知識(shí)及變換技巧.