Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2，PD=4，E是PD的中點．
（1）求證：AE⊥平面PCD；
（2）若F是線段BC的中點，求三棱錐F-ACE的體積．

Answer 1

解：（1）∵PA²+AD²=32=PD²，
∴∠PAD=90°，結合PA=AD得△PAD是等腰Rt△
又∵PA²+AB²=20=PB²，∴PA⊥AB
∵PA⊥AD且AB、AD是平面ABCD內的相交直線
∴PA⊥平面ABCD
∵PA⊆平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∵AE⊆平面PAD，∴CD⊥AE
∵等腰Rt△PAD中，E是斜邊AD上的中線，∴AE⊥PD
∵PD、CD是平面PCD內的相交直線，
∴AE⊥平面PCD；
（2）連接FA、FE，取AD的中點K，連接EK
∵△PAD中，EK是中位線，∴EK∥PA且EK=PA=2
∵PA⊥平面ABCD，
∴EK⊥平面ABCD，得EK是三棱錐E-AFC的高線
∴V_{三棱錐E-AFC}=×S_△AFC×EK=×××4×2×2=
∵V_{三棱錐E-AFC}=V_{三棱錐F-ACE}
∴V_{三棱錐F-ACE}=，即三棱錐F-ACE的體積是．
分析：（1）根據勾股定理的逆定理，可得PA⊥AD且PA⊥AB，得PA⊥平面ABCD，從而平面PAD⊥平面ABCD．結合面面垂直的性質，得CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE．最后結合等腰直角△PAD的中線AE⊥PD，得AE⊥平面PCD；
（2）連接FA、FE，取AD的中點K，連接EK．根據三角形中位線定理，得到EK∥PA且EK=PA=2，得EK⊥平面ABCD，即EK是三棱錐E-AFC的高線．由此結合題中數據，算出三棱錐E-AFC的體積，即得三棱錐F-ACE的體積．
點評：本題在特殊四棱錐中，證明線面垂直并且求錐體體積，著重考查了空間垂直位置關系的證明和等體積轉換求三棱錐體積等知識，屬于中檔題．