Question

3．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+$\frac{1}{6}$的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． [0，1）
• C． （-∞，0]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求導f′（x）=x²-ax=x（x-a）；從而分類討論以確定函數的單調性，從而轉化為極值問題求解即可．

解答 解：∵f′（x）=x²-ax=x（x-a），
令f′（x）=0，
解得x=0，或x=a，
當a=0時，f′（x）≥0，
∴函數f（x）在R上是增函數，
∴f（x）存在唯一的零點；
當a＜0時，f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上是增函數，在（a，0）上是減函數；
而且f（0）=$\frac{1}{6}$，f（x）存在唯一的零點；
當a＞0時，f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上是增函數，在（0，a）上是減函數；
而且f（0）=$\frac{1}{6}$，
故只需使f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$a•a²+$\frac{1}{6}$＞0，即a³＜1，
解得，0＜a＜1；
綜上所述，實數a的取值范圍是（-∞，1），
故選：A．

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數的單調性，屬于中檔題．