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【題目】如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：＋＝1上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q.

(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；

(2)試問(wèn)|OP|2＋|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

解：(1)證明：因?yàn)橹本�OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x與圓M相切，所以＝，

化簡(jiǎn)得：(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，

同理：(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，

所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以k1·k2＝.

因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在橢圓C上，所以＋＝1，即y＝3－x，

所以k1k2＝＝－為定值．

(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值為9.

理由如下：

方法一：①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

聯(lián)立解得

所以x＋y＝，同理得x＋y＝，

又因?yàn)閗1k2＝－，

所以|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y

＝＋

＝＋

＝＝9.

②當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有|OP|2＋|OQ|2＝9，

綜上：|OP|2＋|OQ|2＝9為定值．

方法二：①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

因?yàn)閗1k2＝－，所以yy＝xx，

因?yàn)镻(x1，y1)，Q(x2，y2)在橢圓C上，

所以即

所以

＝xx，整理得x＋x＝6，

所以y＋y＝＋＝3，所以|OP|2＋|OQ|2＝9.

②當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有|OP|2＋|OQ|2＝9，

綜上：|OP|2＋|OQ|2＝9為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、.已知.

（1）求；

（2）若的面積為，周長(zhǎng)為 ，求.

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【題目】在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)在AC1上，且DF⊥AC1，則下述結(jié)論：

①AC1⊥BC；

②AF＝FC1；

③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正確的個(gè)數(shù)為( )

A．0 B．1

C．2 D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分16分）已知是虛數(shù)， 是實(shí)數(shù)．

（1）求為何值時(shí)， 有最小值，并求出|的最小值；

（2）設(shè)，求證： 為純虛數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓： 過(guò)橢圓： 的短軸端點(diǎn)， 分別是圓與橢圓上任意兩點(diǎn)，且線段長(zhǎng)度的最大值為3.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0，2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且＝＋，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請(qǐng)求出最大整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由.

（參考數(shù)據(jù)： ， ）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為.過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的直線與橢圓的另一交點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若與直線交于點(diǎn)，求的值；

（3）若，求直線的傾斜角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在矩形中，已知，點(diǎn)、分別在、上，且，將四邊形沿折起，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上．

（I）求證： ；

（II）求點(diǎn)到平面的距離；

（III）求直線與平面所成的正弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案