Question

 在數(shù)列中，，，且（）．

   （Ⅰ）設(shè)（），證明是等比數(shù)列；

   （Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

   （Ⅲ）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與 的等差中項(xiàng)．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）證明：由題設(shè)（），得

    ，即，．

    又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．

   （Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

    ，

    ，

    ……

    ，（）．

    將以上各式相加，得（）．

    所以當(dāng)時(shí)，

    上式對(duì)顯然成立．

   （Ⅲ）解：由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．

    由可得，由得，�、�

    整理得，解得或（舍去）．于是．

    另一方面，，

    ．

    由①可得，．

    所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．