Question

在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)=x³+ax²+2bx+c,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)取得極大值,當(dāng)x∈(1,2)時(shí)取得極小值,求點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積以及的取值范圍.

Answer 1

解析:

函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=x²+ax+2b,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)取得極大值,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f(x)取得極小值,則方程x²+ax+2b=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),由二次函數(shù)f′(x)=x²+ax+2b的圖象與方程x²+ax+2b=0根的分布之間的關(guān)系可以得到

在aOb平面內(nèi)作出滿足約束條件的點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰽BD(不包括邊界),

如圖陰影部分,其中點(diǎn)A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),

△ABD的面積為

S_△ABD=|BD|×h=(h為點(diǎn)A到a軸的距離).

點(diǎn)C(1,2)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率為,

顯然(k_CA,k_CB),

即