Question

20．設數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，記數(shù)列{a_n}的前n項之積為T_n，則T₂₀₁₅的值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，a₁=2，可求數(shù)列的前幾項，進而可得數(shù)列的周期性規(guī)律，代入即可求得答案．

解答 解：由a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
得${a}_{2}=1-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
${a}_{3}=1-\frac{1}{{a}_{2}}=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-1$，
${a}_{4}=1-\frac{1}{{a}_{3}}=1-\frac{1}{-1}=2$．
由上可知，數(shù)列的項重復出現(xiàn)，呈現(xiàn)周期性，周期為3．
且T₃=a₁a₂a₃=-1，2015=3×671+2，
∴T₂₀₁₅=（-1）⁶⁷¹•a₁a₂=-1．
故選：B．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的函數(shù)性質--周期性．發(fā)現(xiàn)周期性并利用是本題的關鍵，是中檔題．