Question

已知函數f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，a∈R．
（1）若a=1，判斷函數f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）設函數g（x）=-

a

x

．若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用求極值的方法，先求導，再判斷函數f（x）單調性，然后判斷是否存在極值；
（2）求含有參數的f（x）的單調區(qū)間，需要分類討論；   
（3）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設F（x）=f（x）-g（x），F（x）_min=F（1）=0，從而求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f(x)=x-

1

x

-2lnx，其定義域為（0，+∞）．
∵f′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=(

x-1

x

)2≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴函數f（x）不存在極值．
（2）函數f(x)=a(x-

1

x

)-2lnx的定義域為（0，+∞）．f′(x)=a(1+

1

x2

)-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
當a≤0時，
∵f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
當a＞0時，
當x∈（0，+∞）時，方程f'（x）=0與方程ax²-2x+a=0有相同的實根，△=4-4a²=4（1-a²），
①當0＜a＜1時，△＞0，可得x1=

1- 1-a2

a

，x2=

1+ 1-a2

a

，且0＜x₁＜x₂，
∴x∈（0，x₁）時，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，x₁）上單調遞增；       
∴x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，所以f（x）在（x₁，x₂）上單調遞減；     
∴x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，所以f（x）在（x₂，+∞）上單調遞增；   
②當a≥1時，△≤0，∴f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
綜上，當a≤0時，f（x）的單調減區(qū)間為（0，+∞）；
當0＜a＜1時，f（x）的單調增區(qū)間為(0，

1- 1-a2

a

)與(

1+ 1-a2

a

，+∞)；單調減區(qū)間為(

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

)；
當a≥1時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞）．
（3）由存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
得ax₀＞2lnx，即a＞

lnx0

x0

，
令F（x）=

2lnx

x

，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”，
∵F′(x)=

2(1-lnx)

x2

，且當x∈[1，e]時，F′（x）≥0，
∴F（x）在[1，e]上單調遞增，
故F（x）_min=F（1）=0，
因此a＞0．

點評：本題主要考查了函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．