Question

如圖，在三棱錐S－ABC中，A₁、B₁、C₁分別是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，

(1)求證：平面A₁B₁C₁∥平面ABC；

(2)求三棱錐S－A₁B₁C₁與S－ABC體積之比．

Answer 1

答案：
解析：

證：(1)：∵A1、B1、C1是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，連SA1、SC1并延長交BC、AB于N、M，則N、M必是BC和AB的中點．連MN 　　∵＝＝， 　　∴A1C1∥MN． 　　∵MN平面ABC， 　　∴A1C1∥平面ABC． 　　同理可證A1B1∥平面ABC． 　　∴平面A1B1C1∥平面ABC． 　　(2)由(1)＝，MN∥AC， 　　∴A1C1∥AC． 　　同理可證：A1B1∥AB， 　　B1C1∥BC． 　　∴ΔA1B1C1≌ΔABC， 　　S＝SΔABC． 　　設三棱錐S－ABC的高為h，S－A1B1C1的高為h1則有：＝＝，∴h1＝h． 　　∴＝＝． 　　評析：要掌握線面平行的相互轉(zhuǎn)化的思想方法外，還要有扎實的相似形和線段成比例的基礎．

提示：

本題顯然應由三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合成比例線段的關系推導出“線線平行”再到“線面平行”到“面面平行”，至于體積的比的計算只要能求出相似三角形面積的比和對應高的比就可以了．