Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁＝2，公比為q(q為正整數(shù))，且滿(mǎn)足3a₃是8a₁與a₅的等差中項(xiàng)；數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足2n²－(t＋b_n)n＋b_n＝0(t∈R，n∈N^*)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)試確定t的值，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；

(3)當(dāng){b_n}為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2共b_k個(gè)，得到一個(gè)新數(shù)列{c_n}．設(shè)T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，試求滿(mǎn)足T_m＝2c_m+1的所有正整數(shù)m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2185/0021/01b060685f56ed4cbf62816bb2a71c35/C/Image94.gif" width=89 HEIGHT=24>，所以，解得(舍)，則　3分 　　又，所以　4分 　　(2)由，得， 　　所以， 　　則由，得 　　而當(dāng)時(shí)，，由(常數(shù))知此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列　8分 　　(3)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2185/0021/01b060685f56ed4cbf62816bb2a71c35/C/Image108.gif" width=98 HEIGHT=24>，易知不合題意，適合題意　9分 　　當(dāng)時(shí)，若后添入的數(shù)2＝cm+1，則一定不適合題意，從而cm+1必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，則 　　即． 　　也就是， 　　易證k＝1，2，3，4不是該方程的解，而當(dāng)n≥5時(shí)，成立，證明如下： 　　1．當(dāng)n＝5時(shí)，，左邊＞右邊成立； 　　2．假設(shè)n＝k時(shí)，成立， 　　當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 　　≥(k＋1)2＋(k＋1)–1＋5k–k–3＝(k＋1)2＋(k＋1)–1＋k＋3(k–1) 　�。�(k＋1)2＋(k＋1)–1 　　這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 　　由1，2可知，時(shí)恒成立，故無(wú)正整數(shù)解． 　　綜上可知，滿(mǎn)足題意的正整數(shù)僅有m＝2．13分