Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：，a_na_n+1＜0（n≥1）；數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1），
(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
(Ⅱ)證明：數(shù)列{b_n}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

(Ⅰ)解：由題意可知，，
令，則，
又，
則數(shù)列{c_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
即，故，
又，
故，
。
(Ⅱ)證明：用反證法證明，
假設數(shù)列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t(r＜s＜t)按某種順序成等差數(shù)列，
由于數(shù)列{b_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
于是有b_r＞b_s＞b_t，則只可能有2b_r=b_s+b_t成立，
∴，
兩邊同乘3^t-12^1-r，化簡得3^t-r+2^t-r=2·2^s-r3^t-s，
由于r＜s＜t，所以上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導致矛盾；
故數(shù)列{b_n}中任意三項不可能成等差數(shù)列。