Question

已知函數(shù)f（x）=-

x2

2

+x，x∈[m，n]（m＜n），問是否存在實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：先假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n滿足題意，對解析式平方后求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而求出n的范圍，再判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合值域列出方程組求解．

解答：解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n滿足題意，
由題意得f(x)=-

1

2

(x2-2x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

，
∵函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2m，n]，∴2m＜n≤

1

2

，
則區(qū)間[m，n]在對稱軸x=1的左邊，
∴函數(shù)f（x）在[m，n]單調(diào)遞增，∴

f(m)=2m f(n)=n

，
即

- m2 2 +m=2m - n2 2 +n=n

，解得

m=-2 n=0

，
故存在m=-2，n=0滿足題意．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，以及二次函數(shù)的值域問題，對于存在性問題先假設(shè)存在，根據(jù)題意求值，再驗(yàn)證判斷即可，屬于中檔題．