Question

在△ABC中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點(diǎn)E，

AB

=

a

，

AC

=

b

，用

a

、

b

表示

AE

．

Answer 1

分析：利用平面向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化與求解，關(guān)鍵要確定點(diǎn)E在AC上的具體位置，可以利用待定系數(shù)法設(shè)出兩向量的倍數(shù)關(guān)系，選取

AB，

AC

為基底，用兩種不同方法表示出

AE

，利用表示法唯一確定出點(diǎn)E的準(zhǔn)確位置．

解答：解：由已知得

AM

=

1

3

AB

，

AN

=

1

4

AC

．
設(shè)

ME

=λ

MC

，λ∈R，則

AE

=

AM

+

ME

=

AM

+λ

MC

．
而

MC

=

AC

-

AM

，
∴

AE

=

AM

+λ（

AC

-

AM

）
=

1

3

AB

+λ（

AC

-

1

3

AB

）．
∴

AE

=（

1

3

-

λ

3

）

AB

+λ

AC

．
同理，設(shè)

NE

=t

NB

，t∈R，
則

AE

=

AN

+

NE

=

1

4

AC

+t

NB

=

1

4

AC

+t（

AB

-

AN

）=

1

4

AC

+t（

AB

-

1

4

AC

）．
∴

AE

=（

1

4

-

t

4

）

AC

+t

AB

．
∴（

1

3

-

λ

3

）

AB

+λ

AC

=（

1

4

-

t

4

）

AC

+t

AB

．
由

AB

與

AC

是不共線向量，得

1 3 - λ 3 =t λ= 1 4 - t 4

解得

λ= 2 11 t= 3 11 .

∴

AE

=

3

11

AB

+

2

11

AC

，
即

AE

=

3

11

a

+

2

11

b

．

點(diǎn)評：此題所涉及的量較多，且向量與向量之間的關(guān)系較為復(fù)雜，因此對學(xué)生來說確有一定困難．通過共線向量，增加輔助量來理清向量之間關(guān)系是“探索”之所在，即對基本定理的深化及應(yīng)用．考查學(xué)生對平面向量基本定理的認(rèn)識和理解．