Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-（a+1）lnx（a＜-1），
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與x軸平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求出f（x）的極值；
（Ⅲ）若對任意的x∈[1，-a]，有|x·f′（x）|≤2a²恒成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x+a-，
因為f（x）在x=2處的切線與x軸平行，則f′（2）=0，得a=-3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，
則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x=1時，f（x）有極大值，
當(dāng)x=2時，f（x）有極小值f（2）=-4+2ln2。
（Ⅲ）令g（x）=x·f′（x）=x²+ax-（a+1），x∈[1，-a]，
依題意，x∈[1，-a]時，-2a²≤g（x）≤2a²恒成立；
即g（x）_min≥-2a²且g（x）_max≤2a²，而g（x）的對稱軸為，
（�。┊�(dāng)時，即當(dāng)-2＜a＜-1時，
g（x）_min=g（1）=0＞-2a²成立，g（x）_max=g（-a）=-a-1≤2a²也成立；
故-2＜a＜-1符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，即a≤-2時，
由，解得（舍），
g（x）_max=g（-a）=-a-1≤2a²成立或g（x）_max=g（1）=0≤2a²也成立，故a≤-2符合題意；
綜合（ⅰ）（ⅱ）知a＜-1都符合題意。