Question

設(shè)長方體中，，AB＝3，正為線段AB上一點(diǎn)，問E在什么位置時(shí)，平面⊥平面?

Answer 1

答案：略
解析：

如圖，設(shè)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，連結(jié)EM、EN，∵在Rt△CBE和Rt，△中，，∴．同理，∴EM⊥，EN⊥DA．∵∥，平面，而平面，∴∥平面．∴平行于平面與平面，的交線l，∴l⊥平面EMN，∴∠MEN為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)AE＝a，BE＝3－a，，∴．∵，∴．又∵，∴．由題設(shè)平面⊥平面，∴MEN＝90°，∴，即，∴a＝1或b＝2，∴當(dāng)AE＝1或AE＝2時(shí)，平面平面． 如圖所示，平面與面在圖上只有一個(gè)交點(diǎn)E，要證它們垂直，應(yīng)作出它們所成二面角的平面角，由∥，得平面與平面的交線l與平行．又∵CE＝，，取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，得，，∴平面EMN，為所需的二面角的平面角．再利用勾股定理列方程，可求點(diǎn)出E點(diǎn)的位置． 證明面面垂直通常有兩種方法：一是利用定義尋找直二面角，二是利用判定定理找面的垂線．