Question

（2012•長寧區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n為其前n項和，且滿足

a

2 n

=S2n-1，n∈N^*．數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an

-

1

an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）是否存在實數(shù)λ，使對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8恒成立？若存在，請求出實數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

a

2 n

=S2n-1，令n=1可求數(shù)可a₁，由n=2可求公差d，利用等差數(shù)列的通項公式可求a_n，進而可求b_n，結(jié)合數(shù)列的特點，考慮利用裂項相消法可求和T_n
（2）由已知可求λ＜

(2n+1)(n+8)

2n

=

1

2

(2n+

8

n

+17)，結(jié)合基本不等式可求

1

2

(2n+

8

n

+17)最小值，從而可求λ的范圍

解答：解：（1）由題意可得，

a

2 1

=S1=a1，
∵a₁≠0，
∴a₁=1．…．（1分）
∵

a

2 2

=S3=a1+a2+a3，
∴（1+d）²=3+3d，
∴d=-1，2，當d=-1時，a₂=0不滿足條件，舍去．
因此d=2．…．（4分）
∴a_n=2n-1，
∴bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

∴Tn=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．…．（6分）
（2）由題意可得，λ•

2n

2n+1

＜n+8，
∴λ＜

(2n+1)(n+8)

2n

=

1

2

(2n+

8

n

+17)，…．（8分）
∵2n+

8

n

≥8，當n=2時等號成立，…．（10分）
∴

1

2

(2n+

8

n

+17)最小值為

25

2

，…．（12分）
因此λ＜

25

2

．                 …．（14分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，裂項求和方法的應(yīng)用及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于知識的綜合應(yīng)用