Question

13．如圖所示，AB為圓D的直徑，BC為圓O的切線，過A作OC的平行線交圓O于D，BD與OC相交于E．
（I）求證：CD為圓O的切線；
（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的長．

Answer 1

分析 （I）連接OD，證明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可證明CD為圓O的切線；
（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB²=OE•OC，即可求OC的長．

解答 （I）證明：連接OD．
∵AB為圓D的直徑，
∴AD⊥DB，
∵AD∥OC，
∴BD⊥OC，
∴E為BD的中點，
∴CB=CD，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴CD為圓O的切線；
（Ⅱ）解：由題意，OB=OA=4，OE=$\frac{1}{2}$AD=2，
Rt△OBC中，BE⊥OC，
∴OB²=OE•OC，
∴OC=$\frac{O{B}^{2}}{OE}$=8．

點評 本題考查圓的切線的證明，考查射影定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．