Question

18．設(shè)f（x）和g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）-g（x）在[a，b]上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f（x）=-x²+（m+2）x-1和g（x）=2x+3是[1，5]上的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（4，5]．

Answer 1

分析 由題意可得y=h（x）=f（x）-g（x）=-x²+mx-4在[1，5]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，有$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（5）≤0\\ f（\frac{m}{2}）＞0\\ 1＜\frac{m}{2}＜5\end{array}\right.$，由此求得m的取值范圍

解答 解：∵f（x）=-x²+（m+2）x-1和g（x）=2x+3在[1，5]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，
故函數(shù)y=h（x）=f（x）-g（x）=-x²+mx-4在[1，5]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
有$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（5）≤0\\ f（\frac{m}{2}）＞0\\ 1＜\frac{m}{2}＜5\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}m-5≤0\\ 5m-29≤0\\ \frac{{m}^{2}}{4}-4＞0\\ 2＜m＜10\end{array}\right.$，
解得m∈（4，5]，
故答案為：（4，5]

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，“關(guān)聯(lián)函數(shù)”的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．