Question

15．中心在原點(diǎn)的橢圓C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，點(diǎn)B（0，1）是橢圓C的一個(gè)短軸端點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C運(yùn)動(dòng)，若橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且△BPQ的垂心恰好為橢圓C的右焦點(diǎn)，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析 由題意可求得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；再設(shè)直線PQ的方程為y=x+k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；從而可得x₁+x₂=-$\frac{4k}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{3}$，再構(gòu)造向量$\overrightarrow{BQ}$=（x₂，y₂-1），$\overrightarrow{FP}$=（x₁-1，y₁）；從而化簡求得k=1或k=-$\frac{4}{3}$；再檢驗(yàn)即可．

解答 解：由題意，b=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1；
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
∵△BPQ的垂心恰好為橢圓C的右焦點(diǎn)F（1，0）；
∴設(shè)直線PQ的方程為y=x+k，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=x+k}\end{array}\right.$得，
3x²+4kx+2k²-2=0，
△=（4k）²-4×3×（2k²-2）＞0，
故-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$；
x₁+x₂=-$\frac{4k}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{3}$，
又∵$\overrightarrow{BQ}$=（x₂，y₂-1），$\overrightarrow{FP}$=（x₁-1，y₁）；
∴x₂（x₁-1）+（y₂-1）y₁=0，
即2x₂x₁+（k-1）（x₂+x₁）+k（k-1）=0，
即2$\frac{2{k}^{2}-2}{3}$-（k-1）$\frac{4k}{3}$+k（k-1）=0，
化簡得，（k-1）（3k+4）=0；
故k=1或k=-$\frac{4}{3}$；
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=1時(shí)，B，P，Q三點(diǎn)重合，無解；
故k=-$\frac{4}{3}$；
故直線PQ的方程為y=x-$\frac{4}{3}$．
即3x-3y-4=0．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于中檔題．