Question

16．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$．
（1）求證：AB⊥PC；
（2）求側面BPC與側面DPC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點O，連結PO，CO，AC，推導出PO⊥AB，CO⊥AB，從而AB⊥平面PCO，由此能證明AB⊥PC．
（2）以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出側面BPC與側面DPC所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取AB的中點O，連結PO，CO，AC，
∵△APB為等腰三角形，∴PO⊥AB，
又∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴△ABC是等邊三角形，∴CO⊥AB，
又OC∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，
又PC?平面PCO，∴AB⊥PC．
解：（2）∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$，
∴OP=$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}-{1}^{2}}$=1，OC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴PC²=OP²+OC²，∴OP⊥OC，
以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，1），D（$\sqrt{3}，-2，0$），
$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{PD}$=（$\sqrt{3}，-\sqrt{2}$，-1），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BPC的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
設平面DPC的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}a-2b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴側面BPC與側面DPC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題是要認真審題，注意向量法的合理運用．