Question

3．若正數(shù)a，b滿(mǎn)足2a+b=1，則$\frac{a}{2-2a}$+$\frac{2-b}$的最小值是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)u=2-2a，v=2-b，則a=$\frac{2-u}{2}$，b=2-v，u+v=3，（u，v＞0），再由乘1法，運(yùn)用基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)u=2-2a，v=2-b，則a=$\frac{2-u}{2}$，b=2-v，
u+v=3，（u，v＞0），
即有$\frac{a}{2-2a}$+$\frac{2-b}$=$\frac{1-\frac{1}{2}u}{u}$+$\frac{2-v}{v}$
=$\frac{1}{u}$+$\frac{2}{v}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}$（u+v）（$\frac{1}{u}$+$\frac{2}{v}$）-$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{3}$（3+$\frac{v}{u}$+$\frac{2u}{v}$）-$\frac{3}{2}$≥$\frac{1}{3}$（3+2$\sqrt{\frac{v}{u}•\frac{2u}{v}}$）-$\frac{3}{2}$
=1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)v=$\sqrt{2}$u=6-3$\sqrt{2}$時(shí)，取得最小值．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：最值的求法，注意運(yùn)用乘1法，以及滿(mǎn)足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．