Question

11．已知M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，向量β=$[\begin{array}{l}{1}\\{7}\end{array}]$，求M⁵⁰β．

Answer 1

分析 先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．利用特征向量的性質(zhì)計算，先利用特征向量表示向量β，后將求M⁵⁰β的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計算問題．

解答 解：矩陣M的特征多項式為f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-2}&{λ-1}\end{array}|$=（λ-1）²-4=0，
∴λ₁=-1，λ₂=3，
設(shè)對應(yīng)的特征向量為α₁=$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，α₂=$[\begin{array}{l}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$，
由Mα₁=λ₁α₁，Mα₂=λ₂α₂，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+2{y}_{1}=-{x}_{1}}\\{2{x}_{1}+{y}_{1}=-{y}_{1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+2{y}_{2}=3{x}_{2}}\\{2{x}_{2}+{y}_{2}=3{y}_{2}}\end{array}\right.$，
解得x₁+y₁=0，x₂-y₂=0，
∴矩陣M的一個特征向量為α₁=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
由β=mα₁+nα₂，得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=1}\\{n-m=7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴M⁵⁰β=M⁵⁰（-3α₁+4α₂）
=$-3（{M}^{50}{α}_{1}）+4（{M}^{50}{α}_{2}）$
=$-3（{{λ}_{1}}^{50}{α}_{1}）+4（{{λ}_{2}}^{50}{α}_{2}）$
=$-3×（-1）^{50}[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$+$4×{3}^{50}[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$
=$[\begin{array}{l}{-3+4×{3}^{50}}\\{3+4×{3}^{50}}\end{array}]$．

點評 本題主要考查了特征值與特征向量的計算以及利用特征向量求向量乘方的問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．