Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a1nx+-2x，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（Ⅱ）當a≥0時，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數(shù)，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）求導函數(shù)，再分類討論．分a=0、a≥1、0＜a＜1，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
當a=1時，f（x）=1nx+-2x，因為，…（3分）
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，則當x=e時，函數(shù)f（x）取得最大值f（e）=1+-2e．…（5分）
（Ⅱ）求導函數(shù)，可得．…（6分）
當a=0時，因為f′（x）=-2＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；…（7分）
當a＞0時，
（1）當△=4-4a²≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（9分）
（2）當△=4-4a²＞0時，即0＜a＜1時，由f′（x）＞0解得，0＜x＜，或．…（10分）
由f′（x）＜0解得；   …（11分）
所以當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．…（13分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確利用導數(shù)是關(guān)鍵．