Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圖過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，可得：a+c=3，a-c=1，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），結(jié)合根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解，即可求得結(jié)論．
解答：（1）解：由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，
可得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立，消去y可得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
則
又
因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），∴k_ADk_BD=-1，即
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴
∴7m²+16mk+4k²=0
解得：，且均滿足3+4k²-m²＞0
當(dāng)m₁=-2k時，l的方程y=k（x-2），直線過點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)時，l的方程為，直線過定點(diǎn)
所以，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．