Question

某旅游景點(diǎn)推出了自動購票機(jī)，為了解游客買票情況及所需時間等情況，隨機(jī)收集了該景點(diǎn)100位游客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖所示：（將頻率視為概率）

一次購票	1張	2張	3張	4張	5張以上
游客人數(shù)	x	25	30	y	10
所需時間（秒/人）	30	35	40	45	50

已知這50位顧客中一次購物量少于10件的顧客占80%．
（1）求x、y的值；
（2）求顧客一次購票所需時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（3）某游客去購票時，前面恰有2人在買票，求該游客購票前等候時間超過1.5分鐘的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知30+y+10=55，由此能求出x、y的值．
（2）由已知得X的可能取值為30，35，40，45，50，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出顧客一次購票所需時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（3）記A為事件“該游客購票前等候時間超過1.5分鐘”，則P（A）=P（x₁=45）×P（x₂=50）+P（x₁=50）×P（x₂=45）+P（x₁=50）×P（x₂=50），由此能求出該游客購票前等候時間超過1.5分鐘的概率．

解答： 解：（1）∵這100位游客中一次購票超過2張的游客占55%，
∴30+y+10=55，解得y=15，
∴x=100-25-30-15-10=20．
（2）由已知得X的可能取值為30，35，40，45，50，
P（X=30）=

20

100

=

1

5

，
P（X=35）=

25

100

=

1

4

，
P（X=40）=

30

100

=

3

10

，
P（X=45）=

15

100

=

3

20

，
P（X=50）=

10

100

=

1

10

，
∴X的分布列為：

X	30	35	40	45	50
P	1 5	1 4	3 10	3 20	1 10

∴EX=30×

1

5

+35×

1

4

+40×

3

10

+45×

3

20

+50×

1

10

=38.5．
（3）記A為事件“該游客購票前等候時間超過1.5分鐘”，
則P（A）=P（x₁=45）×P（x₂=50）+P（x₁=50）×P（x₂=45）+P（x₁=50）×P（x₂=50）
=

3

20

×

1

10

+

1

10

×

3

20

+

1

10

×

1

10

=

1

25

．

點(diǎn)評：本題考查相互獨(dú)立事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．