Question

已知=（1，sinα），=（2，sin（α+2β）），∥．
（1）若sinβ=，β是鈍角，求tanα的值；
（2）求證：tan（α+β）=3tanβ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a∥b，即a和b的坐標(biāo)，進(jìn)而可知sin（α+2β）=2sinα，根據(jù)sinβ求得cosβ，進(jìn)而可求得sin2β，進(jìn)而利用兩角和公式化簡理求得tanα．
（2）整理sin（α+2β）=2sinα，利用兩角和公式化簡整理，等式兩邊同時(shí)除以cos（α+β）cosβ求得tan（α+β）=3tanβ．
解答：解：由已知=（1，sinα），=（2，sin（α+2β）），∥
所以sin（α+2β）=2sinα
（1）sinβ=，β是鈍角，所以cosβ=-，可得sin2β=-，cos2β=，
代入sinαcos2β+cosαsin2β=2sinα化得tanα=-；
（2）證明：因?yàn)閟in（α+2β）=2sinα，即sin[（α+β）+β]=2sin[（α+β）-β]
得sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=2[sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ]
移項(xiàng)得sin（α+β）cosβ=3cos（α+β）sinβ，
等式兩邊同時(shí)除以cos（α+β）cosβ得tan（α+β）=3tanβ
點(diǎn)評：本題主要考查了三角恒等式的證明．解題的關(guān)鍵是利用了兩角和公式進(jìn)行化簡整理．