Question

如圖，已知E、F分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁和棱CC₁上的中點，求證：四邊形EBFD₁是菱形．

Answer 1

分析：根據(jù)菱形的定義直接證明即可．

解答：證明：取棱BB₁中點為G，連C₁G、EG，
由正方體性質(zhì)，側(cè)面AB B₁A₁為正方形，
又E、G分別為邊AA₁、BB₁中點，
所以 EG=A₁B₁=C₁D₁，EG∥A₁B₁∥C₁D₁，
從而四邊形EGC₁D₁為平行四邊形，
∴D₁E∥C₁G，D₁E=C₁G，
又F、G分別為棱CC₁、BB₁中點，
由側(cè)面CB B₁C₁為正方形，知四邊形BGC₁F 為平行四邊形，
所以BF∥C₁G，BF=C₁G，
又∴D₁E∥C₁G，D₁E=C₁G，
由平行公理可知D₁E=BF，D₁E∥BF，
從而四邊形EBFD₁ 為平行四邊形．
由ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，不妨設(shè)其棱長為a，易
知 BE=BF=

5

2

a
而由四邊形 EBFD₁為平行四邊形，從而即為菱形．

點評：本題主要考查菱形的判斷和證明，利用平行的傳遞性是解決本題的關(guān)鍵．