Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)（是常數(shù)）．

（1）設(shè)，、是函數(shù)的極值點(diǎn)，試證明曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

（2）是否存在常數(shù)，使得，恒成立？若存在，求常數(shù)的值或取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（注：，對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則在曲線上．）

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）首先由題意求得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)計(jì)算，點(diǎn)在曲線上，所以，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

（2）由題即，，時(shí)，不等式恒成立；

時(shí)，不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，

求導(dǎo)討論，在的單調(diào)性，進(jìn)而求出在上這兩個(gè)函數(shù)的最值，即為的取值范圍。

試題解析：（1），

解得，，

即

曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為

直接計(jì)算知，，點(diǎn)在曲線上，所以，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

（2）即，

時(shí)，不等式恒成立；

時(shí)，不等式等價(jià)于

作，，，，解、得、

	－	＋	0	－
	↘	↗	極大值	↘
	＋	－	－	－
	↗	↘		↘

，，在的最大值為；，，在的最小值為

綜上所述，的取值范圍為

考點(diǎn)：曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；