Question

（2012•黃浦區(qū)二模）已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=4，AP=5．
（1）求二面角P-BC-A的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．
（2）把△PAB（及其內(nèi)部）繞PA所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體，求該幾何體的體積V．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)D，連接AD、PD，可得∠PDA為二面角P-BC-A的平面角，在直角△PAD中，利用正切函數(shù)可求二面角P-BC-A的大��；
（2）由題設(shè)，所得幾何體為圓錐，其底面半徑為4，高為5，故可求圓錐的體積．

解答：解：（1）取BC中點(diǎn)D，連接AD、PD；

在等腰三角形PBC、ABC中，PD⊥BC，AD⊥BC，故∠PDA為二面角P-BC-A的平面角．       （2分）
在等腰直角△ABC中，由AB=AC=4及AB⊥AC，得AD=2

2

．
由PA⊥平面ABC，得PA⊥AD．
在直角△PAD中，tan∠PDA=

PA

AD

=

5 2

4

．                            （6分）
故二面角P-BC-A的大小為arctan

5 2

4

．                           （8分）
（2）由題設(shè)，所得幾何體為圓錐，其底面半徑為4，高為5．
∴該圓錐的體積V=

1

3

×5×π×42=

80π

3

．                              （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查幾何體體積的計(jì)算，正確確定面面角是解題的關(guān)鍵．