Question

已知橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6＋4．

（Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l：x＝ky＋m與橢圓M交手A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）時(shí)，取得最大值為.

【解析】(1)由題意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c進(jìn)而確定橢圓方程.

（2）以AB為直徑的圓過(guò)右頂點(diǎn)C，實(shí)質(zhì)是,然后用坐標(biāo)表示出來(lái)，再通過(guò)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和判斷式把△ABC面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，然后利用函數(shù)的方法求最值.

（Ⅰ）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為，∴， 又橢圓的離心率為，即，所以，

∴，.  ………… 3分∴，橢圓的方程為.……4分

（Ⅱ）由直線的方程.聯(lián)立 消去得，………… 5分     

設(shè)，，則有，. ① ……… 6分

因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415171151967583/SYS201208241517443359598020_DA.files/image015.png">為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以 .由 ，得 .…………… 7分

將代入上式，得 .

將 ① 代入上式，解得 或（舍）. ……… 8分

所以,記直線與軸交點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以

設(shè)，則.

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為