Question

設a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=

x

-alnx．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）是[1，+∞）上增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時，f（x）=

x

-lnx，求導并令導數(shù)為0，從而解出x，再觀察在這個值附近的導數(shù)正負，從而確定極值；
（2）若使函數(shù)f（x）是[1，+∞）上增函數(shù)，則只需使f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，從而解得．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=

x

-lnx，
f′（x）=

1

2

1

x

-

1

x

=

x -2

2x

，
令f′（x）=0解得，x=4，
在x=4附近，左側f′（x）＜0，右側f′（x）＞0；
故f（x）在x=4附近有極小值f（4）=2-ln4；
（2）∵f′（x）=

1

2

1

x

-a

1

x

=

x -2a

2x

，
若使函數(shù)f（x）是[1，+∞）上增函數(shù)，
∴

x -2a

2x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴1-2a≥0，
故a≤

1

2

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題的轉化與處理，屬于中檔題．