Question

如圖，四棱錐中，，，側面為等邊三角形，．

（Ⅰ）證明：平面;

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】本試題主要是考查了線面垂直的問題和線面角的求解的綜合運用。

（1）要證明線面垂直關鍵是證明線線垂直，BA垂直于平面ASD。

（2）利用等價轉(zhuǎn)化思想，通過求解點到面的距離得到線面角的求解。

解：

（I）取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2，

連結SE，則

又SD=1，故，

所以為直角。      …………3分

由，

得平面SDE，所以。

SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。

所以平面SAB。    …………6分

（II）由平面SDE知，

平面平面SED。

作垂足為F，則SF平面ABCD，

作，垂足為G，則FG=DC=1。

連結SG，則，

又，

故平面SFG，平面SBC平面SFG。

作，H為垂足，則平面SBC。

，即F到平面SBC的距離為  …………………………10分

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距離也有

設AB與平面SBC所成的角為，

則�！�……………………12分