Question

14．已知數(shù)列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，…的前n項和為S_n，計算得S₁=$\frac{1}{3}$，S₂=$\frac{2}{5}$，S₃=$\frac{3}{7}$，照此規(guī)律，S_n=$\frac{n+1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知條件利用裂項求和法求解．

解答 解：∵數(shù)列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，…的前n項和為S_n，
∴S₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{3}$，
S₂=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）=$\frac{2}{5}$，
S₃=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$=$\frac{3}{7}$，
照此規(guī)律，S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．