Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(diǎn)M（b，a），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM與直線l：xsinB+y（sinB-sinA）+（a-c）sinC-asinB=0垂直，垂足為M，則$\frac{c}{a}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線OM與l垂直，得出asinB-b（sinB-sinA）=0①，
再由點(diǎn)M（b，a）在直線l上，得bsinB+a（sinB-sinA）+（a-c）sinC-asinB=0②，
由①②，結(jié)合正弦定理，求出$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：根據(jù)題意，得；
直線OM的方程為y=$\frac{a}$x，
即ax-by=0；
又OM⊥l，
∴asinB-b（sinB-sinA）=0，
即asinB-bsinB+bsinA=0；
由正弦定理得asinB=bsinA，
∴2asinB=bsinB，
∴b=2a；
又點(diǎn)M（b，a）在直線l上，
∴bsinB+a（sinB-sinA）+（a-c）sinC-asinB=0，
即bsinB-asinA+asinC-csinC=0，
∴2asinB-asinA+asinC-csinC=0，
∴2bsinA-asinA+asinC-csinC=0，
∴4asinA-asinA+asinC-csinC=0，
∴3asinA+asinC-csinC=0；
由正弦定理得3a²+ac-c²=0，
即3+$\frac{c}{a}$-${（\frac{c}{a}）}^{2}$=0，
∴${（\frac{c}{a}）}^{2}$-$\frac{c}{a}$-3=0，
解得$\frac{c}{a}$=$\frac{1±\sqrt{13}}{2}$，
應(yīng)取$\frac{c}{a}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了正弦定理的靈活應(yīng)用問題，考查了計(jì)算能力與邏輯思維能力，是綜合性題目．