Question

10．直線y=kx與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，且$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，若∠ABF∈（0，$\frac{π}{12}$]，則橢圓C的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• D． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）

Answer 1

分析 設(shè)F₂是橢圓的右焦點(diǎn)．由$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，可得BF⊥AF，再由O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，OF=OF₂．可得四邊形AFBF₂是矩形．設(shè)∠ABF=θ，可得BF=2ccosθ，BF₂=AF=2csinθ，利用橢圓的定義可得BF+BF₂=2a，可得e=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$，即可得出．

解答 解：設(shè)F₂是橢圓的右焦點(diǎn)．
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
∴BF⊥AF，
∵O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，OF=OF₂．
∴四邊形AFBF₂是平行四邊形，
∴四邊形AFBF₂是矩形．
如圖所示，
設(shè)∠ABF=θ，
∵BF=2ccosθ，BF₂=AF=2csinθ，
BF+BF₂=2a，
∴2ccosθ+2csinθ=2a，
∴e=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$，
sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{12}$]，
∴$（θ+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，
∴$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
∴$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$（1，\frac{\sqrt{6}}{2}]$，
∴e∈$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)、矩形的定義、三角函數(shù)的單調(diào)性、兩角和差的正弦，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．