Question

14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcosC=（3a-c）cosB．D為AC邊的中點，且BD=1，則△ABD面積的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，根據sinA不為0求出cosB的值，由D為邊AC的中點，可得2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，兩邊平方，設|$\overrightarrow{BA}$|=c，|$\overrightarrow{BC}$|=a，可得4=a²+c²+$\frac{2}{3}$ac，結合基本不等式的應用可得ac的最大值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：∵bcosC=（3a-c）cosB，
∴利用正弦定理化簡得：（3sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，可得sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵點D為邊AC的中點，
∴2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴兩邊平方可得：4|$\overrightarrow{BD}$|²=|$\overrightarrow{BA}$|²+2|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cos∠ABC+|$\overrightarrow{BC}$|²，…（9分）
設|$\overrightarrow{BA}$|=c，|$\overrightarrow{BC}$|=a，可得：4=a²+c²+$\frac{2}{3}$ac≥ac，（當且僅當a=c=2時等號成立），
∴ac≤$\frac{3}{2}$，（當且僅當a=c=2時等號成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin∠ABC≤$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（當且僅當a=c=2時等號成立），
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．（當且僅當a=c=2時等號成立），
∴當且僅當a=c=2時，△ABD面積的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，考查了平面向量及其應用，考查了基本不等式，三角形面積公式等知識在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．