Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可得|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值，而

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值等于2，故x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，根據(jù)數(shù)軸上的

1

2

、

5

2

 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于2，可得不等式的解集．

解答：解：由題知，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

 恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，當(dāng)且僅當(dāng) （a+b）（a-b）≥0 時(shí)取等號(hào)，
∴

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值等于2，∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，又由于數(shù)軸上的

1

2

、

5

2

 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到
1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于2，故不等式的解集為[

1

2

，

5

2

]，
故答案為[

1

2

，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，判斷|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，是解題
的關(guān)鍵．