Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）當(dāng)x≠0時，求證：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，可得當(dāng)x≠0時，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，相加可得答案；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，利用分組求和法，可得答案．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
∴當(dāng)x≠0時，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{（\frac{1}{x}）}^{2}}{1+{（\frac{1}{x}）}^{2}}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1
解：（2）由（1）得：f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+[f（4）+f（$\frac{1}{4}$）]=$\frac{1}{2}$+1+1+1=$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的值，其中得到f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1是解答的關(guān)鍵．