Question

13．下列命題：
①已知△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，B是△ABC中最大角，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0，則△ABC為鈍角三角形；
②若sinA=$\frac{4}{5}$，則$\frac{5sinA+8}{15cosA-7}$=6；
③若sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$且α、β為銳角，則α+β=$\frac{π}{4}$；
④已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=aqⁿ（a≠0，q≠1，q為非零常數(shù)），則數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
⑤函數(shù)y=$\frac{1}{x-1}$的圖象與函數(shù)y=2sinπx（-1≤x≤3）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于4．
其中正確的命題序號(hào)③⑤．（注：把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①利用向量的數(shù)量積可判斷出cosB＞0，而B(niǎo)是△ABC中最大角，從而可知△ABC為銳角三角形；
②依題意，可求得cosA=±$\frac{3}{5}$，將其代入$\frac{5sinA+8}{15cosA-7}$計(jì)算即可判斷②；
③利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系及兩角和的余弦可判斷③；
④令q=-1，可求得a₁、a₂、a₃，從而可判斷④．
⑤${y}_{1}=\frac{1}{1-x}$的圖象由奇函數(shù)$\frac{-1}{x}$的圖象向右平移1個(gè)單位而得，所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，再由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心公式，可得函數(shù)y₂=2sinπx的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心也是點(diǎn)（1，0），故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2．

解答 解：①△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos（π-B）＜0，
∴cosB＞0，又B是△ABC中最大角，
∴△ABC為銳角三角形，故①錯(cuò)誤；
②∵sinA=$\frac{4}{5}$，∴cosA=±$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=±$\frac{3}{5}$，
當(dāng)cosA=$\frac{3}{5}$時(shí)，$\frac{5sinA+8}{15cosA-7}$=$\frac{5×\frac{4}{5}+8}{15×\frac{3}{5}-7}$=6；
當(dāng)cosA=-$\frac{3}{5}$時(shí)，$\frac{5sinA+8}{15cosA-7}$=$\frac{5×\frac{4}{5}+8}{15×（-\frac{3}{5}）-7}$=-$\frac{3}{4}$≠6，故②錯(cuò)誤；
③∵sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$且α、β為銳角，
∴cosα=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，同理可得cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+β=$\frac{π}{4}$，故③正確；
④令q=-1，則a₁=-a，a₂=S₂-S₁=a-（-a）=2a，a₃=S₃-S₂=-a-a=-2a，顯然a₁、a₂、a₃不能構(gòu)成等比數(shù)列，故④錯(cuò)誤；
⑤解：函數(shù)${y}_{1}=\frac{1}{1-x}$，y₂=2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱中心（1，0），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖
當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y₁＜0
而函數(shù)y₂在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，
在（$1，\frac{3}{2}$）和（$\frac{5}{2}，\frac{7}{2}$）上是減函數(shù)；
在$（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$和$（\frac{7}{2}，4）$上是增函數(shù)．
∴函數(shù)y₁在（1，4）上函數(shù)值為負(fù)數(shù)，且與y₂的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E、F、G、H
相應(yīng)地，y₁在（-2，1）上函數(shù)值為正數(shù)，且與y₂的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D
且：x_A+x_H=x_B+x_G═x_C+x_F=x_D+x_E=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為8．
故選D
綜上所述，正確的命題序號(hào)為：③⑤，

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系及兩角和的余弦，考查等比關(guān)系的確定，屬于中檔題．